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本 Cheatsheet 源自 Boqing Xue 的 Linear Algebra Checklist (2022 Spring)

适用于 Boqing Xue's Linear Algebra 2023 Fall

Written by ZAMBAR

Chap.00

If $A\ne 0$ Then $A^{T}A\ne 0$

If $A$ is an $n\times n$ matrix, then the following statements are equivalent:

1. $A$ is invertible.

2. $Ax=0$ has only the trivial solution.

3. The reduced row echelon form of $A$ is $I_n$.

4. $A$ can be expressed as a product of elementary matrices.

5. $Ax=b$ is consistent for every $n\times 1$ matrix $b$.

6. $Ax=b$ has exactly one solution for every $n\times 1$ matrix $b$.

7. $det(A)\ne 0$.

8. The column vectors of $A$ are linearly independent.

9. The row vectors of $A$ are linearly independent.

10. The column vectors of $A$ span ${\mathbb{R}}^n$.

11. The row vectors of $A$ span ${\mathbb{R}}^n$.

12. The column vectors of $A$ form a basis for ${\mathbb{R}}^n$.

13. The row vectors of A form a basis for ${\mathbb{R}}^n$.

14. $\text{rank}(A)=n$.

15. $\text{nullity}(A)=0$.

16. $\text{Null}(A{)}^{\perp }={\mathbb{R}}^n$.

17. $\text{Row}(A{)}^{\perp }=0$.

Chap.01 Systems of Linear Equations and Matrices

当涉及到线性代数中的一些基本概念和定义时，以下是对每个术语的阐释：

1. 线性系统（Linear System）：
   线性系统是由一组线性方程组成的系统。每个方程都涉及一组未知数的线性组合。一般形式为：

   $$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1$$$$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2$$$$⋮$$$$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m$$

   其中，$a_{ij}$ 是系数，$x_i$ 是未知数，$b_i$ 是常数。

2. 齐次线性系统（Homogeneous Linear System）：
   齐次线性系统是一个特殊的线性系统，其右侧常数项都为零。即，对于一个齐次线性系统：

   $$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=0$$$$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=0$$$$⋮$$$$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=0$$

   所有的 $b_i$ 都等于零。

3. 解（Solution）：
   对于线性系统，解是一组满足所有方程的未知数值。如果一个解存在，我们称这个系统是有解的。

4. 一般解（General Solution）：
   一般解是表示线性系统所有可能解的形式。它包含了系统中所有特定解的参数表示，因此可以表示出无穷多个解。

5. 一致性/不一致性（Consistent/Inconsistent）：
   一个线性系统是一致的，如果至少存在一个解。反之，如果不存在解，则系统是不一致的。

6. 增广矩阵（Augmented Matrix）：
   增广矩阵是将线性系统的系数矩阵和常数项列合并成一个矩阵的形式。例如，对于线性系统：

   $$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1$$$$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2$$$$⋮$$$$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m$$

   对应的增广矩阵为：

   $$[A|B]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& |& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& |& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& |& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}& |& b_m\end{array}\right]$$

7. 系数矩阵（Coefficient Matrix）：
   系数矩阵是线性系统中由所有系数构成的矩阵。对于上述线性系统，系数矩阵为：

   $$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$$

这些概念对于理解和解决线性系统问题非常重要。增广矩阵和系数矩阵的使用使得线性系统的处理更加方便。

下面是关于线性代数中一些基本概念和定义的阐释：

1. 矩阵（Matrix）：
   矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列。通常用方括号表示，如 $A=[a_{ij}]$，其中 $a_{ij}$ 是矩阵中的元素。

2. 元素（Entry）：
   矩阵中的每个数字都称为一个元素，记作 $a_{ij}$，其中 $i$ 表示行号，$j$ 表示列号。

3. 阶（Order）：
   矩阵的阶是指它的行数和列数。一个 $m\times n$ 的矩阵有 $m$ 行和 $n$ 列。

4. 列（Column）：
   矩阵中的一列是指矩阵中相同列号的所有元素组成的向量。

5. 行（Row）：
   矩阵中的一行是指矩阵中相同行号的所有元素组成的向量。

6. 加法（Addition）：
   矩阵加法是指两个具有相同阶的矩阵中相应元素相加的操作。

7. 标量乘法（Scalar Multiplication）：
   矩阵的标量乘法是指将矩阵的每个元素都乘以一个标量。

8. 乘法（Multiplication）：
   矩阵乘法是一种将两个矩阵相乘得到新矩阵的运算。要使乘法定义，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

   Zhihu

   AB=0 =>
   If nxn：

   A, B都不满秩（Det=0）

   • Det=0 => $A{B}_i=\mathbb{0}=C_i$有无穷多解（任意）

   If A:mxn B:nxs

   • A的列向量线性相关，B的行向量线性相关。

9. 转置（Transpose）：
   矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。

10. 迹（Trace）：
    方阵的迹是指其主对角线上的元素之和。

11. 秩（Rank）：
    矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数量。
    （变换后的空间维数）

    • Full rank $r=\text{Rank}$ <=> Det=0
      • Only $\overrightarrow{\mathbf{0}}$ is still zero!

12. 零矩阵（Zero Matrix）：
    全部元素都为零的矩阵。

13. 单位矩阵（Identity Matrix）：
    主对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵。

14. 分块矩阵（Partitioned Matrix）：
    将一个矩阵划分成若干个子矩阵的形式。

15. 初等矩阵（Elementary Matrix）：
    由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。

16. 可逆矩阵（Invertible Matrix）：
    如果存在一个矩阵，使得它与原矩阵相乘或相加得到单位矩阵，则原矩阵称为可逆矩阵。

17. 矩阵的多项式（Polynomial of Matrix）：
    包含矩阵的多项式表达式。

18. 对角矩阵（Diagonal Matrix）：
    除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

19. 上三角矩阵和下三角矩阵（Triangular Matrix）：
    如果一个矩阵的主对角线以下的元素全为零，那么它是上三角矩阵；如果主对角线以上的元素全为零，那么它是下三角矩阵。

20. 对称矩阵和反对称矩阵（Symmetric/Anti-symmetric Matrix）：
    对称矩阵是指 $A^T=A$，即矩阵关于主对角线对称；反对称矩阵是指 $A^T=-A$，即矩阵关于主对角线反对称。

以下是一些关于矩阵操作、转置、迹、逆矩阵以及对角矩阵、三角矩阵和（反）对称矩阵性质的定理：

1. 矩阵操作的性质（Properties of Matrix Operations）：

   • 结合律： 对于矩阵乘法，$(AB)C=A(BC)$。
   • 分配律： 矩阵乘法对于加法具有分配律，即$A(B+C)=AB+AC$和$(A+B)C=AC+BC$。

2. 转置的性质（Properties of Transpose）：

   • $(A^T{)}^T=A$，即转置的转置是原矩阵。
   • $(A+B{)}^T=A^T+B^T$，即转置的和等于各自转置的和。
   • $(cA{)}^T=c{A}^T$，其中 $c$ 是标量。

3. 迹的性质（Properties of Trace）：

   • 对于方阵 $A$，$\text{tr}(A)=\text{tr}(A^T)$。
   • 对于方阵 $A$ 和 $B$，$\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$。
   • 对于方阵 $A$，$c$ 是标量，$\text{tr}(cA)=c\cdot \text{tr}(A)$。

4. 逆矩阵的性质（Properties of Inverse Matrix）：

   • 如果 $A$ 可逆，那么其逆矩阵 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$。
   • 如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵，那么 $AB$ 也是可逆矩阵，且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。
   • 如果 $A$ 是可逆的，那么 $A^T$ 也是可逆的，且 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。

5. 对角矩阵、三角矩阵和（反）对称矩阵的性质：
   当涉及对角矩阵、三角矩阵以及（反）对称矩阵时，以下是一些性质的表示：

   • 对角矩阵（Diagonal Matrix）：
     1. 对角矩阵的逆：
        如果 $D$ 是一个对角矩阵，其中对角线上的元素 $d_{ii}\ne 0$，那么其逆矩阵为：
   $$D^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{d_{11}}& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{1}{d_{22}}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{d_{nn}}\end{array}\right]$$

   2. 对角矩阵的行列式：
   对角矩阵的行列式等于其主对角线上的元素的乘积：

   $$\text{det}(D)=d_{11}\cdot d_{22}\cdot \dots \cdot d_{nn}$$

   • 三角矩阵（Triangular Matrix）：

     1. 上三角矩阵的逆：
        如果 $U$ 是一个上三角矩阵（主对角线以下的元素都为零），那么它的逆矩阵也是上三角矩阵：
     2. 下三角矩阵的逆：
        如果 $L$ 是一个下三角矩阵（主对角线以上的元素都为零），那么它的逆矩阵也是下三角矩阵：

   • （反）对称矩阵：

     1. 对称矩阵的性质：
        如果 $A$ 是对称矩阵，则它与其转置相等： $A^T=A$。
     2. 反对称矩阵的性质：
        如果 $B$ 是反对称矩阵，则它的转置等于其负矩阵： $B^T=-B$。
     • 若矩阵$B\in M_{m\times n}$，那么$B{B}^{\top }$为$m$阶对称矩阵，$B^{\top }B$为$n$阶对称矩阵

定理：
对于线性系统的系数矩阵 $A$ 和常数矩阵 $B$，设其增广矩阵为 $[A|B]$。线性系统是一致的当且仅当 $\text{rank}(A)=\text{rank}([A|B])$。

阐释：

1. 系数矩阵 $A$ 的秩：

   $$\text{rank}(A)$$

2. 增广矩阵 $[A|B]$ 的秩：

   $$\text{rank}([A|B])$$

3. 一致性判断：
   如果 $\text{rank}(A)=\text{rank}([A|B])$，则线性系统一致，存在解；否则，线性系统不一致，不存在解。

这里，$\text{rank}(A)$ 表示系数矩阵 $A$ 的秩，而 $\text{rank}([A|B])$ 表示增广矩阵 $[A|B]$ 的秩。通过比较这两个秩，我们可以得知线性系统的一致性。如果它们相等，说明增广矩阵中的常数列没有冗余信息，系统是一致的；如果它们不相等，说明常数列中包含了冗余信息，系统是不一致的。

定理：
线性系统的解有三种可能性：

1. 唯一解（Unique Solution）：
   线性系统存在唯一解当且仅当系数矩阵 $A$ 的秩等于方程组中的未知数数量 $n$，即 $\text{rank}(A)=n$。

   $$\text{rank}(A)=n⟹\text{唯一解}$$

2. 无穷多解（Infinitely Many Solutions）：
   线性系统存在无穷多解当且仅当系数矩阵 $A$ 的秩小于方程组中的未知数数量 $n$，即 $\text{rank}(A)<n$，且存在自由变量。

   $$\text{rank}(A)<n⟹\text{无穷多解}$$

3. 无解（No Solution）：
   线性系统无解当且仅当系数矩阵 $A$ 的秩小于增广矩阵 $[A|B]$ 的秩，即 $\text{rank}(A)<\text{rank}([A|B])$。

   $$\text{rank}(A)<\text{rank}([A|B])⟹\text{无解}$$

其中，$\text{rank}(A)$ 表示系数矩阵 $A$ 的秩，$n$ 表示未知数的数量。这个定理表明了线性系统解的三种可能性与系数矩阵的秩之间的关系。

事实（Fact）：
通过在矩阵的左（右）侧使用初等矩阵进行乘法，等价于在矩阵的左（右）侧应用初等行（列）操作。

阐释：

1. 左乘初等矩阵：
   如果我们有一个矩阵 $A$，并且左乘一个初等矩阵 $E$，即 $EA$，这相当于对矩阵 $A$ 进行了一系列的初等行操作。

   例如，如果 $E$ 是通过交换矩阵 $A$ 的两行得到的初等矩阵，那么左乘 $E$ 相当于在矩阵 $A$ 中交换相应的两行。

2. 右乘初等矩阵：
   如果我们有一个矩阵 $A$，并且右乘一个初等矩阵 $E$，即 $AE$，这相当于对矩阵 $A$ 进行了一系列的初等列操作。

   例如，如果 $E$ 是通过交换矩阵 $A$ 的两列得到的初等矩阵，那么右乘 $E$ 相当于在矩阵 $A$ 中交换相应的两列。

这个事实表明，通过在矩阵的左（右）侧乘以初等矩阵，我们可以实现对矩阵进行一系列的初等行（列）操作。这种操作是线性代数中求解线性系统、计算矩阵的逆等问题中非常有用的技巧。

Chap.02 Euclidean Vector Spaces

概念/定义：

1. n-空间（n-space）：

   • 阐释： n-空间是具有n个实数的集合，通常用${\mathbb{R}}^n$表示。每个元素是n维向量。

2. 向量（Vector）：

   • 阐释： 向量是n个有序实数的组合，通常表示为 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$。向量可以在n-空间中表示一个点或一个方向。

3. 加法（Addition）：

   • 阐释： 向量加法是指对应元素相加，例如 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{u}_1+v_1\\ u_2+v_2\\ ⋮\\ u_n+v_n\end{array}\right]$。

4. 标量乘法（Scalar Multiplication）：

   • 阐释： 标量乘法是指将向量的每个元素乘以一个实数，例如 $c\cdot \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}c\cdot v_1\\ c\cdot v_2\\ ⋮\\ c\cdot v_n\end{array}\right]$。

5. 线性组合（Linear Combination）：

   • 阐释： 线性组合是指通过对向量进行加法和标量乘法操作得到的结果，如 $c_1\cdot {\mathbf{v}}_1+c_2\cdot {\mathbf{v}}_2+\dots +c_k\cdot {\mathbf{v}}_k$。

6. 范数（Norm）：

   • 阐释： 向量的范数是一个非负实数，表示向量的大小。常见的有欧几里得范数（二范数）：$\parallel \mathbf{v}\parallel =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots +v_n^2}$。

7. 距离（Distance）：

   • 阐释： 两个向量之间的距离是它们之间的欧几里得距离，即 $\parallel \mathbf{v}-\mathbf{u}\parallel$。

8. 单位向量（Unit Vector）：

   • 阐释： 单位向量是范数为1的向量，通常表示为 $\frac{\mathbf{v}}{\parallel \mathbf{v}\parallel }$

9. 点积（Dot Product）：

   • 阐释： 两个向量的点积是对应元素相乘后的和，例如 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+\dots +u_n\cdot v_n$。

10. 正交性（Orthogonality）：

    • 阐释： 两个向量正交表示它们的点积为零，即 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$。

11. 正交投影（Orthogonal Projection）：

    • 阐释： 向量 $\mathbf{v}$ 在向量 $\mathbf{u}$ 上的正交投影是一个向量，表示 ${\text{proj}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})={\displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}}{\parallel \mathbf{u}{\parallel }^2}}\cdot \mathbf{u}$。
    • 正交投影的模长： $\parallel {\text{proj}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\parallel ={\displaystyle \frac{|\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}|}{\parallel \mathbf{u}\parallel }}$

12. 直线和平面（Line and Plane）：

    • 阐释： 在n-空间中，直线可以由一个点和一个方向向量确定而平面可以由一个点和两个线性无关的方向向量确定。

13. 叉积（Cross Product）：

    • 阐释： 三维空间中，两个向量的叉积是一个与这两个向量都垂直的向量，其大小由平行四边形的面积表示，方向由右手定则确定。
    • Notational trick: 得到的是向量 $$(v_{1},v_{2},v_{3})\times(w_{1},w_{2},w_{3})=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\v_{1} & v_{2} & v_{3}\w_{1} & w_{2} & w_{3}\end{vmatrix} $$

概念/定义：

1. 行列式（Determinant）：

   • 阐释： 对于一个n阶方阵 $A$，其行列式表示为 $|A|$ 或 $det(A)$。对于3阶矩阵 $A$，行列式的表达式为：$$|A|=det(A)=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})-\$\$\$\$a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})$$
     • 含义： 面积/体积

2. 余子式（Minor）：

   • 阐释： 对于矩阵 $A$ 中的一个元素 $a_{ij}$，其对应的余子式是删除第 $i$ 行和第 $j$ 列后形成的行列式，表示为$\text{Minor}(A{)}_{ij}$或$M_{ij}$。

3. 代数余子式（Cofactor）：

   • 阐释： 对于矩阵 $A$ 中的一个元素 $a_{ij}$，其对应的代数余子式是其余子式乘以 $(-1{)}^{i+j}$。代数余子式通常表示为 $\text{cof}(A{)}_{ij}$ 或 $C_{ij}$。$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$$

4. 伴随矩阵（adjunct/Adjugate）：

   • 阐释： 对于n阶方阵 $A$，其伴随矩阵（伴随矩阵也称为伴随矩阵）记作 $\text{adj}(A)$ 或 $\text{adjunct}(A)$，其中每个元素是对应位置的余子式。$$\text{adj}(A{)}_{ij}=C_{ji}$$
   • 性质： 如果 $A$ 可逆，则其逆矩阵为 $$A^{-1}=\dfrac1{\det(A)}\cdot{\text{adj}(A)}$$

概念/定义：

1. 矩阵变换（Matrix Transformation）：

   • 阐释： 矩阵变换是一种线性变换，通过矩阵与向量相乘来改变向量的位置。对于一个矩阵 $A$ 和一个列向量 $\mathbf{v}$，矩阵变换的结果是另一个列向量 $\mathbf{u}=A\mathbf{v}$。

2. 复合（Composition）：

   • 阐释： 复合是指将两个或多个变换结合在一起形成一个新的变换。如果有两个矩阵变换 $A$ 和 $B$，它们的复合表示为 $C=BA$，其中 $C$ 的效果等同于先进行 $A$ 变换，然后进行 $B$ 变换。

3. 逆变换（Inverse Transformation）：

   • 阐释： 对于一个变换 $T$，如果存在一个逆变换 $T^{-1}$，那么对于任意输入 $x$，应用 $T$ 后再应用 $T^{-1}$ 将返回原始输入，即 $T^{-1}(T(x))=x$。对于矩阵变换，逆变换通常通过矩阵的逆来表示，即 $A^{-1}$。

定理：向量运算/范数/距离的性质

1. 向量加法的性质：

   • 公式： 对于任意向量 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$，满足交换律和结合律。$$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$$$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$$

2. 标量乘法的性质：

   • 公式： 对于任意标量 $c$ 和向量 $\mathbf{v}$，满足分配律。$$c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$$

3. 范数的性质：

   • 公式： 对于任意向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $c$，满足非负性、齐次性、和三角不等式。
     • 非负性： $\parallel \mathbf{v}\parallel \ge 0$，且等号成立当且仅当 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$。
     • 齐次性： $\parallel c\mathbf{v}\parallel =|c|\cdot \parallel \mathbf{v}\parallel$。
     • 三角不等式： $\parallel \mathbf{u}+\mathbf{v}\parallel \le \parallel \mathbf{u}\parallel +\parallel \mathbf{v}\parallel$。

4. 距离的性质：

   • 公式： 对于向量空间中的任意两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，它们之间的距离满足非负性、同一性、和三角不等式。
     • 非负性： $d(\mathbf{u},\mathbf{v})\ge 0$，且等号成立当且仅当 $\mathbf{u}=\mathbf{v}$。
     • 同一性： $d(\mathbf{u},\mathbf{v})=d(\mathbf{v},\mathbf{u})$。
     • 三角不等式： $d(\mathbf{u},\mathbf{v})+d(\mathbf{v},\mathbf{w})\ge d(\mathbf{u},\mathbf{w})$。

设 $\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$，而 $\lambda ,\mu \in \mathbb{F}$. 则

• $\mathbf{u}\mathbf{+}\mathbf{v}=\mathbf{v}\mathbf{+}\mathbf{u}.$
• $\mathbf{u}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{v}\mathbf{+}\mathbf{w}\mathbf{)}=(\mathbf{u}\mathbf{+}\mathbf{v})+w.$
• $\mathbf{v}\mathbf{+}\mathbf{0}=\mathbf{v}.$
• $\mathbf{v}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{v}\mathbf{)}=\mathbf{0}.$
• $\lambda (\mathbf{u}\mathbf{+}\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}.$
• $(\lambda +\mu )\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}.$
• $\mu (\lambda \mathbf{v})=(\mu \lambda )\mathbf{v}.$
• $\mathbf{1}\mathbf{v}=\mathbf{v}.$
• $\mathbf{0}\mathbf{v}=\mathbf{0}.$
• $\lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}.$
• $(-1)\mathbf{v}=-\mathbf{v}.$

定理：点积、叉积和标量三重积的性质以及行列式的几何意义

1. 点积 (Inner Product) 的性质：

   • 公式： 对于向量 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 和标量 $c$，点积具有交换律和分配律。$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$$$$(k\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}=k(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$$$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$$
   • 几何意义： 点积表示了两个向量之间的投影关系，可以用来计算夹角余弦。
   • Proposition:
     • Let $\mathbf{u},\mathbf{v}$ be vectors. Then:
       • $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2$.
       • $|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$ (Cauchy’s Inequality).
   • Corollary:
     • Let $\mathbf{u},\mathbf{v}$ be vectors in ${\mathbb{R}}^n$. We have:
       • $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert \le \Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$ (Triangular Inequality).
       • $d(\mathbf{u},\mathbf{v})\le d(\mathbf{u},\mathbf{w})+d(\mathbf{w},\mathbf{v})$ (Triangular Inequality).

2. 叉积的性质：

   • 公式： 对于向量 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 和标量 $c$，叉积具有分配律、反对称性和线性性。

     $$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times \mathbf{u})$$$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times \mathbf{w}=\mathbf{u}\times \mathbf{w}+\mathbf{v}\times \mathbf{w}$$

   • 性质:

     $$\mathbf{u}\times (\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}\times \mathbf{v})+(\mathbf{u}\times \mathbf{w})$$$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times \mathbf{w}=(\mathbf{u}\times \mathbf{w})+(\mathbf{v}\times \mathbf{w})$$$$\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot \mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{w}$$$$(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\times \mathbf{w}=(\mathbf{u}\cdot \mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w})\mathbf{u}$$$$\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})+\mathbf{v}\times (\mathbf{w}\times \mathbf{u})+\mathbf{w}\times (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=\mathbf{0}$$

   • 几何意义： 叉积的结果是一个垂直于参与运算的两个向量的向量，其大小等于这两个向量围成的平行四边形的面积。

   • Theorem: Let $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, and $\mathbf{w}$ be vectors in ${\mathbb{R}}^3$, and $k$ be a scalar.

     • $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times \mathbf{u})$.
     • $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=0$.
     • $\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=0$.
     • $k(\mathbf{u}\times \mathbf{v})=(\mathbf{ku})\times \mathbf{v}=\mathbf{u}\times (\mathbf{kv})$.
     • $\mathbf{u}\times \mathbf{0}=\mathbf{0}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}$.
     • $\mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}$.
     • $\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}{)}^2$.

   • Theorem: Suppose that $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ and $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Then,

   $$$$

   \begin{pmatrix}
   \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \ v_2 & v_3 \end{vmatrix} , &
   \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \ v_3 & v_1 \end{vmatrix} , &
   \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \ v_1 & v_2 \end{vmatrix}
   \end

   $$$$

Suppose that $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ and $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Then,

Here, ${\text{proj}}_{\text{yOz}}(\mathbf{u})$ is the projection of $\mathbf{u}$ onto the $yOz$-plane, and the other notations are similar.

3. 混合积 / 标量三重积的性质：

   • 公式： 对于向量 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$，标量三重积满足交换律。

     $$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=\mathbf{v}\cdot (\mathbf{w}\times \mathbf{u})=\mathbf{w}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})$$

   • 几何意义： 标量三重积的绝对值等于以三个向量为边的平行六面体的体积。

   • Theorem:

     • Suppose that
     $$\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),\mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3).$$

     Then the scalar triple product

     $$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=\left|\begin{array}{ccc}{u}_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\\ w_1& w_2& w_3\end{array}\right|$$$$=u_1\left|\begin{array}{cc}{v}_2& v_3\\ w_2& w_3\end{array}\right|-u_2\left|\begin{array}{cc}{v}_1& v_3\\ w_1& w_3\end{array}\right|+u_3\left|\begin{array}{cc}{v}_1& v_2\\ w_1& w_2\end{array}\right|$$$$=u_1{v}_2{w}_3+u_2{v}_3{w}_1+u_3{v}_1{w}_2-\$\$\$\$u_3{v}_2{w}_1-u_2{v}_1{w}_3-u_1{v}_3{w}_2.$$

   • Proposition:

     1. $|(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|$ is the volume of the parallelepiped determined by $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$.
     2. If $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ satisfy the "right-hand rule," then $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}>0$;
     3. If $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ satisfy the "left-hand rule," then $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}<0$;
     4. If $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ are coplanar vectors, then $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=0$.

   • Remark:

     $$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot \mathbf{a}=(\mathbf{c}\times \mathbf{a})\cdot \mathbf{b}$$

4. 行列式的几何意义：

   • 公式： 对于3阶方阵 $A$，其行列式 $det(A)$ 表示了由矩阵的列向量所确定的平行六面体的体积。
   • 几何意义： 行列式的符号表示平行六面体的方向，为正表示右手定则，为负表示左手定则。

定理：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的直线和平面方程

1. 直线的参数方程：

   • 公式： 一条通过点 $(x_0,y_0,z_0)$ 且方向向量为 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$ 的直线的参数方程可以表示为：$$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$$
   • 几何意义： 直线上的每个点都可以通过参数 $t$ 来表示，表示了直线上的点沿着方向向量的运动。

2. 直线的对称式方程：

   • 公式： 一条通过点 $(x_0,y_0,z_0)$ 且方向向量为 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$ 的直线的对称式方程为：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
   • 几何意义： 对称式方程表示了直线上的任意一点到起点的距离与方向向量的比例相等。

3. 平面的点法式方程：

   • 公式： 一个过点 $(x_0,y_0,z_0)$ 且法向量为 $\mathbf{n}=\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right]$ 的平面的点法式方程为：$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$
   • 几何意义： 平面上的每个点满足点法式方程，表示点到平面的向量与法向量垂直。

4. 平面的一般方程：

   • 公式： 一个平面的一般方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$
   • 几何意义： 一般方程表示了平面上的点满足平面方程，其中 $A,B,C$ 是法向量的分量，$D$ 是平面的截距。

定理：行列式的性质

保乘法

1. 性质1 - 行的交换：

   • 公式： 行列式的值不变，当且仅当交换行。$$det(A)=-det(A^{\prime })$$
   • 理解：交换坐标

2. 性质2 - 行的倍乘：

   • 公式： 行列式的值乘以一个标量，结果为原行列式的值乘以该标量。$$det(cA)=c^n\cdot det(A)$$
   • 理解：n次面积翻c倍

3. 性质3 - 行的加法：

   • 公式： 如果将矩阵的某一行加上另一行的某个倍数，行列式的值不变。$$det(A)=det(A^{\prime })$$
   • 理解：左乘初等矩阵保乘法；进行行列式为1的变换不改变面积

4. 性质4 - 单位矩阵的行列式：

   • 公式： 单位矩阵的行列式为1。$$det(I)=1$$

5. 性质5 - 乘积矩阵的行列式：

   • 公式： 两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积。$$det(AB)=det(A)\cdot det(B)$$

6. 性质6 - 转置矩阵的行列式：

   • 公式： 矩阵的转置的行列式等于原矩阵的行列式。$$det(A^T)=det(A)$$

7. 性质7 - 逆矩阵的行列式：

   • 公式： 如果矩阵可逆，其逆矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的倒数。$$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$$

这些性质描述了行列式在矩阵运算中的一些基本规律，它们对于计算和理解矩阵的行列式是非常有用的。

定理：伴随矩阵的性质

1. 矩阵乘法： $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I$
   • 简证: 对于对角线上的元素为行列式的展开式；非对角线上的元素可以理解为一个替换了某一行/列的行列式，由于该行/列在矩阵内是重复的，故行列式为0
   • 推论: $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 常用于替换证明
2. 纯量乘法：$(cA{)}^{\ast }=c^{n-1}{A}^{\ast }$
   - $(cA{)}^{\ast }=|cA|(cA{)}^{-1}=c^n|A|c^{-1}{A}^{-1}=c^{n-1}{A}^{\ast }$
3. 逆可互换：$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }={\displaystyle \frac{A}{|A|}}$
   • 简证:
     $(A^{\ast }{)}^{-1}=(|A|A^{-1}{)}^{-1}={\displaystyle \frac{A}{|A|}}$
     $(A^{-1}{)}^{\ast }=|A^{-1}|(A^{-1}{)}^{-1}={\displaystyle \frac{A}{|A|}}$
4. 转置可互换：$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$
   - 简证: $(A^{\ast }{)}^T=(|A|A^{-1}{)}^T=|A|(A^{-1}{)}^T=|A^T|(A^T{)}^{-1}=(A^T{)}^{\ast }$
5. 伴随的行列式：$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
   • 简证: $|A^{\ast }|=||A|A^{-1}|=|A{|}^n\cdot |A^{-1}|=A^{n-1}$
6. 伴随的伴随：$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
   • 简证: $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|(A^{\ast }{)}^{-1}$
     由(5), (3), $=|A{|}^{n-1}\cdot {\displaystyle \frac{A}{|A|}}=|A{|}^{n-2}A$

定理：克拉默法则（Cramer's Rule）

克拉默法则是解线性方程组的一种方法，适用于方程组的系数矩阵为可逆矩阵的情况。

考虑一个线性方程组：

其中，$A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，$x$ 是未知向量，$b$ 是已知向量。如果矩阵 $A$ 是可逆的，即 $det(A)\ne 0$，那么克拉默法则可以用以下公式表示：

1. 解的存在性：

   • 如果 $det(A)\ne 0$，方程组有唯一解。

2. 解的表达式：

   • 方程组的解可以通过克拉默法则表示为：$$x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)}$$

   其中，$x_i$ 是向量 $x$ 的第 $i$ 个分量，$det(A_i)$ 是将矩阵 $A$ 的第 $i$ 列替换为向量 $b$ 后得到的矩阵的行列式。

3. 注意事项：

   • 为了使用克拉默法则，必须确保矩阵 $A$ 是可逆的（即 $det(A)\ne 0$）。当 $det(A)=0$ 时，克拉默法则不适用，表示方程组可能没有唯一解或无解。

克拉默法则提供了一种通过矩阵的行列式来计算线性方程组的解的方法，但它的效率较低，特别是在高维情况下。在实际应用中，通常使用更高效的线性代数方法求解线性方程组。

• Theorem:

公式：行列式的基本性质

1. 常数倍法则：

   • 公式： 对于任意 $n\times n$ 矩阵 $A$ 和标量 $c$，有 $det(cA)=c^{n}det(A)$。$$det(cA)=c^{n}det(A)$$

2. 乘积法则：

   • 公式： 对于任意两个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，有 $det(AB)=det(A)det(B)$。$$det(AB)=det(A)det(B)$$

这些性质是关于行列式的基本性质，它们对于行列式的计算和理解非常有用。第一个常数倍法则说明了当矩阵中的所有元素都乘以一个常数时，行列式的值变为原来的 $n$ 次幂倍。第二个乘积法则则表示了两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积。这些性质在解决线性代数问题和矩阵计算中经常被使用。

公式：伴随矩阵的性质

1. 伴随矩阵与原矩阵的乘积：

   • 公式： 对于任意可逆的 $n\times n$ 矩阵 $A$，其伴随矩阵为 $\text{adj}(A)$ 或 $\text{adjunct}(A)$。有 $A\cdot \text{adj}(A)=\text{adj}(A)\cdot A=det(A)\cdot I_n$。$$A\cdot \text{adj}(A)=\text{adj}(A)\cdot A=det(A)\cdot I_n$$

2. 伴随矩阵的行列式：

   • 公式： 对于任意可逆的 $n\times n$ 矩阵 $A$，有 $det(\text{adj}(A))=(det(A){)}^{n-1}$。$$det(\text{adj}(A))=(det(A){)}^{n-1}$$

这些性质是关于伴随矩阵的基本性质，它们对于解决线性代数中的问题和计算伴随矩阵时非常有用。第一个性质表明矩阵与其伴随矩阵的乘积等于该矩阵的行列式乘以单位矩阵。第二个性质涉及伴随矩阵的行列式，提供了关于伴随矩阵行列式和原矩阵行列式之间的关系。