MA.Add01.奇奇怪怪的思路和技巧！

写在前面：

Tips

注意讨论分母是否为0
注意讨论极限是否存在
适当讨论是否为0可以化简/求出部分
极限差为0而商不一定为1（ $a = 0$ 不行， $a \neq 0$ 为1（国科大讲义P3）

Contents

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奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

$lim C = C$

$lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k > 0$

$lim q^{n} = 0, | q | < 1$

$lim \sqrt[n]{a} = 1, a > 0$

$lim \frac{a^{n}}{n!} = 0$

$lim \sqrt[n]{n} = 1$

证明见 #二项式定理

函数重要极限

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 连续
$lim_{x \to 0} a^{x} = 1$ 教材P38 注意左右极限相等
$lim_{x \to x_{0}} a^{x} = a^{x_{0}}$
$lim_{x \to x_{0}} \ln x = \ln x_{0}$ （其他底数可以使用换底公式）
$lim_{◻ \to 0} \frac{\sin ◻}{◻} = 1, lim_{◻ \to \infty} \frac{\sin ◻}{◻} = 0$ （利用 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ）
$lim_{x \to 0} (x) \sin (◻) = 0$ 夹逼定理
$lim_{◻ \to \infty} (1 + \frac{1}{◻})^{◻} = e, lim_{◻ \to 0} (1 + ◻)^{\frac{1}{◻}} = e$
（利用 ${(1 + \frac{1}{[x] + 1})}^{[x]} < (1 + \frac{1}{x})^{x} < {(1 + \frac{1}{[x]})}^{[x] + 1} \dots [x] \leq x < [x] + 1$ ）

函数等价无穷小

$x \to 0 {\begin{cases} x \sim \sin x \sim \tan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1 \\ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} \\ x^{2} \pm x^{3} \sim x^{2} \\ (1 + x)^{α} \sim 1 + α x \\ \arctan x \sim x \end{cases}$

如：看到 $\sqrt{1 + x^{2}} - 1 \sim \frac{1}{2} x^{2}$

$x \to 0$ 次数高=作用小

$x \to \infty {\begin{cases} x^{2} + x^{3} \sim x^{3} \end{cases}$

基本导数表

Pasted image 20231107164802.png

奇奇怪怪的公式

二项式定理

$lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$

Pasted image 20231009113918.png

#和差化积

Tip

#和差化积

Pasted image 20231023180946.png

#积化和差

Pasted image 20231023181111.png

绝对值不等式

| a + b | \leq | a | + | b |, 当 a, b 同 号

推广：

| a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} | \leq | a_{1} | + \dots | a_{n} |, 当 a_{i} 同 号

| | a | - | b | | \leq | a - b | \leq | a | + | b |

即

| 两 边 之 差 | \leq 第 三 边 \leq 两 边 之 和

两边之差小于第三边 + 两边之和大于第三边

伯努利不等式、均值不等式

$B e r n o u l l i$ 不等式

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x

均值不等式（AGH不等式）

G：最适用于不全相同但接近

\begin{array}{r} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}} \leq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} x_{3} \dots x_{n}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} \dots x_{n}}{n} \\ 其 中 等 号 当 且 仅 当 x_{1} = x_{2} = x_{3} = \dots = x_{n} 成 立 \end{array}

例题4： $设 e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} . 证明数列 {e_{n}} 单调递增且 e_{n} < 4.$
证明：^1e9a3c

\begin{aligned} e_{n} & = (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1 \\ < {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = e_{n + 1} \\ e_{n} & = 4 [(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}] \\ < 4 {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{n + 2})}^{n + 2} \\ = 4 \end{aligned}

$e$ 的泰勒展开

$lim_{n \to \infty} n \sin (2 π n! e) = ?$

解：
由泰勒公式： $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)! (n + 1)} (0 < θ_{n + 1} < 1)$

$[n! e = \underset{整数部分舍弃}{\underset{⏟}{n! (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!})}} + \frac{n!}{(n + 1)!} + \frac{n! θ_{n + 1}}{(n + 1)! (n + 1)}]$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} n \sin (2 π e n!) & = lim_{n \to \infty} n \sin [2 π e n! - \overset{\sin (x \pm 2 k π) = \sin x, k \in Z}{\overset{⏞}{2 π n! (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!})}}] \\ = lim_{n \to \infty} n \sin [\frac{2 π}{n + 1} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)^{2}}] \\ = lim_{n \to \infty} n (\frac{2 π}{n + 1} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)^{2}}) \\ = 2 π \end{aligned}$

奇奇怪怪的证明

#极限与无穷小的转化

Example

若 $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ ,
试证明: $lim \frac{a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1}}{n} = a b$

#极限与无穷小的转化 + #Cauchy第一定理
证:

#收敛数列保号性

极限除法

#epsilon-N定义 + #收敛数列保号性

证明：
$\exists N_{1} \in N,$

$使得 \forall n > N_{1}, | b_{n} | > \frac{| b |}{2}$ #收敛数列保号性

$∵ lim a_{n} = a$

$∴ \forall ε > 0, \exists N_{2} \in N, \forall n > N_{2},$

$使得 | a_{n} - a | < \frac{| b |}{4} ε \dots (*)$

$类似地, \exists N_{3} \in N, \forall n > N_{3},$

$使得 | b_{n} - b | < \frac{b^{2}}{4 | a | + 1} ε \dots (* *)$

$欲证 | \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a}{b} | < ε$

$= \frac{| b a_{n} - a b_{n} |}{| b \cdot b_{n}}$

$= \frac{| a_{n} b - a b + a b - a b_{n} |}{| b \cdot b_{n} |}$ #分子拆分

$\leq \frac{| b | | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b |}{| b \cdot b_{n} |}$

$= \frac{| a_{n} - a}{| b_{n} |} + \frac{| a |}{| b \cdot b_{n} |}$

运用 #收敛数列保号性 $| b_{n} | > \frac{b}{2}$
$< \frac{2}{| b |} | a_{n} - a | + \frac{2 | a |}{b^{2}} | b_{n} - b |$

$< \frac{2}{| b |} \frac{| b |}{4} ε^{(*)} + \frac{2 | a |}{b^{2}} {\frac{b^{2}}{4 | a | + 1}}^{(* *)}$ $避免分类讨论$

$< ε$

开方

$lim a_{n}^{m} = a^{m}, (a > 0, m \in N_{+})$

证明：
$| \sqrt[3]{a_{n}} - \sqrt[3]{a} | = \frac{| a_{n} - a |}{\sqrt[3]{a_{n}} + \sqrt[3]{a}}$ $< \frac{| a_{n} - a |}{a_{n}^{\frac{2}{3}} + a_{n}^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}} < \frac{| a_{n} - a |}{a^{\frac{2}{3}}}$

$a_{n}^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}$ 可以存在运用了 #收敛数列保号性

More about: #次方差展开

#次方差展开

$\begin{aligned} a^{n} - b^{n} & = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{i} b^{n - 1 - i} \\ = (a - b) (b^{n - 1} + a b^{n - 2} + a^{2} b^{n - 3} + \dots + a^{n - 3} b^{2} + a^{n - 2} b + a^{n - 1}) \\ = (a - b) (a^{0} b^{n - 1} + a^{1} b^{n - 2} + \dots + a^{n - 2} b^{1} + a^{n - 1} b^{0}) \end{aligned}$

证明：

$\begin{aligned} a^{n} - b^{n} & = b^{n} [(\frac{a}{b})^{n} - 1] \\ = b^{n} (\frac{a}{b} - 1) \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} = (\frac{a - b}{b}) b^{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} \\ = (a - b) \cdot b^{n - 1} \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} b^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} \\ = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{i} b^{n - 1 - i} \end{aligned}$ ^4e250d

#实数公理 -> #确界原理

\begin{aligned} 令 Y = {y | y \geq x, \forall x \in X} \\ 则 M \in Y, 且 \forall x \in X, y \in Y 有 x \leq Y \\ 运 用 实 数 公 理 : \\ \exists a \in R \\ 使 \forall x \in X, y \in Y, 有 \\ x \leq a \leq y & (Δ) \\ 下 证 : a = sup X \\ \forall x \in X, x \leq a & ① 上 界 \\ \forall ε > 0, a - ε < a \\ ∵ a - ε < a \leq \forall y \\ ∴ a - ε \notin y \\ ∴ a - ε 不 为 X 上 界 \\ ∴ \forall ε > 0, \exists x_{ε} \in X, 使 得 a - ε < x_{ε} & ② 最 小 \end{aligned}

#调和级数

思路： #基本列中 $p$ ， $ε$ 的任意性 + 放缩 + #Cauchy收敛准则

Pasted image 20231018223218.png

单调数列+发散=>发散到正无穷

#和差化积 + 极限

例题：证明 $lim_{x \to x_{0}} \cos x = \cos x_{0}$

证：

\begin{aligned} | \cos x - \cos x_{0} | & = | - 2 \times \sin \frac{x - x_{0}}{2} \times \sin \frac{x + x_{0}}{2} | \\ \leq 2 \times | \sin \frac{x - x_{0}}{2} | \\ \leq 2 \times | \frac{x - x_{0}}{2} | \\ = | x - x_{0} | < ε \end{aligned}

$∴ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow \dots$

$e$ $γ$

自然常数与欧拉常数

Example 17

$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$

Pasted image 20231012191931.png

另一个上界证明见之前

$\begin{aligned} e_{n} & = (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1 \\ < {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = e_{n + 1} \\ e_{n} & = 4 [(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}] \\ < 4 {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{n + 2})}^{n + 2} \\ = 4 \end{aligned}$

$e = 2.718 \dots$ - 自然对数的底数，无理数，超越数（非代数数）
超越数（非代数数）的数量远远多于代数数

重要关系
$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = x_{n}$

以上命题取对数后等价于： $n \ln (1 + \frac{1}{n}) < 1 < (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n})$

简证：左边已经证明，右边 $(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n})$

Note

极限还与数的域有关，有理数域的极限的运算不封闭

有理数的数列极限可以构造无理数

运用：

$lim {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{3 n^{2}} = lim {[{(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}}]}^{3} = e^{3}$

※重要 $γ = 0.577 1 \dots$ : #欧拉常数

#构造辅助函数

证明方程 $x \ln x = 1 在 (0, + \infty) 上有且仅有一根$
即： $x \ln x - 1 = 0$ 有解
简证：
存在性： #零值定理 1，e
唯一性： $\Rightarrow \ln x - \frac{1}{x}$ 单调！
下略

任何奇次多项式至少有一个实零点

奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

#单调有界定理

#子数列归并性定理

#Cauchy收敛准则

$数列 {a_{n}} 收敛的充分必要条件是 {a_{n}} 是基本列$

发散<=>非基本列<=> $\exists ε > 0, \forall N \in N_{+}, \exists n > N, \exists p \in N_{+} \Rightarrow | a_{n + p} - a_{n} | \geq ε$

如何求解数列极限

简化证明

数列极限的简化证明方法

$设数列 a_{n} 对常数 a 和 0 < q < 1 满足条件 :$
$| a_{n + 1} - a | \leq q | a_{n} - a | (n \in N_{+})$
$设 lim a_{n} = a$
$| a_{n} - a | \leq q | a_{n - 1} - a | \leq \dots \leq q^{n - 1} | a_{1} - a | \to 0$
$∴ lim a_{n} = a$

Tips: $q$ 只能为绝对常数，如果 $q$ 含有其他变量，可以通过放缩得到绝对常数

Example

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}, 求 lim a_{n}$

思路1：奇子列↓有下界，偶子列↑有上界
极限不能设为相同的，需要分别设出再证明相等
思路2：简化+放缩

#epsilon-N定义

技巧：怎样证明极限

直接法

适当放大法

#适当放大法用于：不能解、解很复杂

设小于1的某个复杂常数
Eg. $\frac{2^{n}}{n!} \to 0$
合并、拆分=>凑出能约分的常见极限
Eg. $\frac{n^{2} + n + 9}{7 n^{3} - 9} \to 0$
证： $\begin{aligned} \frac{n^{2} + n + 9}{| 7 n^{3} - 9 |} & < \frac{n^{2} + n^{2} + n^{2}}{| 7 n^{3} - 9 |} \dots 9 \to n^{2} 需要 n > 3 \\ < \frac{3 n^{2}}{| 6 n^{3} + n^{3} - 9 |} \dots 此时 n^{3} - 9 > 0, 去掉 \\ < \frac{1}{2 n} \dots 也可以乘 2 再趋于 0 \\ \to 0 \end{aligned}$
此时应该取 $N = max {3, [\frac{1}{ϵ}] + 1}$ ，下略
不等式、二项式等公式
Eg. $lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$
放缩==（抓大放小）== + #收敛数列夹逼性
Eg. $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max {a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}}$

#Stolz定理

$\frac{\forall}{\infty} 形 S t o l z 定理$
$设 {a_{n}}, {b_{n}} 是两个数列, 且 {b_{n}} 严格递增趋于 + \infty . 如果$
$lim \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = A$
$则有$
$lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = A$
其中 $A$ 可以是实数(有界数) / $+ \infty$ / $- \infty$ 只能是定号无穷

Cauchy定理

算数平均

#Cauchy第一定理

$lim a_{n} = a \Rightarrow lim \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} = a$
逆命题不成立： $a_{n} = (- 1)^{n} 极限不存在$

证明: $A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}, B_{n} = n$ 即可

几何平均

Corollary

$a_{n} > 0, lim a_{n} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} = a$

连乘

#Cauchy第二定理

$a_{n} > 0, lim \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{n}} = a$

#夹逼定理

见下

如何证明函数极限存在

#Heine归并定理

Theorem #Heine归并定理

$函数 f (x) 在 x \to x_{0} 时有极限的充要条件是$
$对于任意一个以 x_{0} 为极限的数列 {a_{n}} (a_{n} \neq x_{0}) 都有$ \lim\limits_{n\to x_{0}}f(a_{n})=l$

#单调函数单侧极限定理

Theorem #单调函数单侧极限定理

$设 f 在 \overset{˚}{U} (x_{0}) 内单调有界, 则 f (x_{0} \pm 0) 存在$ , $不能得出 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在$
证明只需要在 $(a, x_{0})$ , $(x_{0}, b)$ 运用 #单调函数极限定理即可

#Cauchy判别准则

Theorem #Cauchy判别准则

$lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在 \Leftrightarrow$
$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x^{'}, x^{″} \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) :$ $| f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ε$
其他五种极限不再赘述

如何求解函数极限

#夹逼定理

见下

幂指函数

幂指函数极限

#e的转化
$lim (f (x))^{g (x)} = lim e^{g (x) \ln f (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)}$
简证：第二个等号运用了 #变量代换： $u = g (x) \ln f (x), lim_{u \to u_{0}} e^{u} = e^{u_{0}} = e^{lim (u \to u_{0}) u}$
#幂指同时取极限
$设 lim f (x) = A > 0, lim g (x) = B \in R, 则$ $lim f (x)^{g (x)} = A^{B}$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)} = e^{B \ln A} = A B$
#1∞形不定式
$设 lim f (x) = 1, lim g (x) = \infty, 则$ $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = lim {(1 + f (x) - 1)^{\frac{1}{f (x) - 1}}}^{[f (x) - 1] \cdot g (x)}$
运用 #幂指同时取极限： $= e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$

Example

$lim_{x \to 0} [\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + . . . . . + a_{n}^{x}}{n}]^{\frac{1}{x}} = (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}}$
#e的转化

解：
$L := lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \ln n}{x}}$
$= e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \log n}{x}}$

法一：
#LHospital法则
$lim_{x \to 0} \frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \ln n}{x}$
$= lim_{x \to 0} \frac{(\ln (\dots))^{'}}{1}$
$= lim_{x \to 0} \frac{a_{1}^{x} \log a_{1} + \dots + a_{n}^{x} \log a_{n}}{a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}}$
$= lim_{x \to 0} \frac{\ln a_{1} + \ln a_{2} + \dots + \ln a_{n}}{n}$
$=$
Therefore,
$L = e^{\frac{1}{n} \ln (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})}$
$= (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}}$

法二：

想不到的放缩与 #夹逼定理

夹逼定理的规范使用

写出不等式
判断敛散性
带入 $lim$ 符号

不能对极限直接比较大小

${(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n} \leq {(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n})}^{n},$ $n \geq 2$
- $\Rightarrow {(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}^{n} \to e$
$\sqrt[n]{n!} \geq \frac{n}{e}$
- Taylor: $e^{n} = 1 + n + \frac{n^{2}}{2!} + \dots + \frac{n^{n}}{n!} \geq \frac{n^{n}}{n!}$

奇奇怪怪

又神秘的东西

如何定义一个开集

\begin{array}{r} 我 们 称 x 为 集 合 A 的 一 个 内 点 \\ \exists δ > 0, C (x, δ) \subset A (O (x, δ) \overset{Δ}{=} {y | | | x - y | | < δ}) \\ 开 集 合 ： 只 含 有 内 点 的 集 合 称 为 开 集 \\ [a, b] \\ a \in [a, b] \\ \forall ε > 0, (a - ε, a + ε), \exists (a - ε, a) ⊄ [a, b] \\ (0, 1) ⋃_{n = 1}^{\infty} (0, \frac{1}{n}) \end{array}

线性空间满足八条原则

什么是数域？

什么是拓扑空间？

\begin{array}{r} 设 X 为 一 个 集 合, F 为 x 的 幂 集 的 子 集 （ 所 有 子 集 的 集 合 ） \\ 若 ： \\ o̸ \in F, x \in F \\ 对 于 任 意 的 U, V \in F, 都 有 U \cap V \in F \\ \forall U_{α} \in F, α \in I, 其 中 I 为 指 标 集, 都 有 ⋃_{α \in I} U_{α} \in F \\ 则 称 F 为 一 个 拓 扑 空 间 \end{array}

势

$1, 2, 3. . .$ ：可以排序：可数、可列
$[0, 1] \to R$ ：不可数、不可列

连续统假设

$[0, 1] \to N_{0} \to 2^{N_{0}}$

Reference：《实变函数论》

序结构：分析学

代数结构：代数学

拓扑结构：几何学

区域不变性

数分观点下的不动点

$设 f \in C [a, b], 且 f ([a, b]) \subset [a, b] 则$
$存在 ξ \in [a, b], 使得 f (ξ) = ξ (即为 [a, b] 中的不动点)$

Example

$设 f (x) 在 x 处可微, α_{n} < x_{0} < β_{n},$ $lim_{n \to \infty} α_{n} = lim_{n \to \infty} β_{n} = x_{0}$
$证明 : lim_{n \to \infty} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} = f^{'} (x_{0})$

Solution:

#添项
$\begin{aligned} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} & = \frac{f (β_{n}) - f (x_{0}) + f (x_{0}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \\ = \frac{β_{0} - x_{0}}{β_{n} - α_{n}} \frac{f (β_{n}) - f (x_{0})}{β_{n} - x_{0}} \\ - \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \end{aligned}$

Example

$设 f (x), g (x), h (x) \in C [a, b] \cap D [a, b], 试证$
$存在 | \begin{matrix} f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \\ f^{'} (ξ) & g^{'} (ξ) & h^{'} (ξ) \end{matrix} | = 0$

Solution:

$F (x) := | \begin{matrix} f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \\ f (x) & g (x) & h (x) \end{matrix} |$

Example

$★ 设 f (x) 在 [a, b] 上连续, 且 f (a) = f (b), 证明 :$

M (x) = sup_{a \leq t \leq x} f (t), m (x) = inf_{a \leq t \leq x} f (t)

$在 [a, b] 上连续$

一些常考 Theorem

需要掌握从实数公理推到每一个Th
以及Th之间互推！

Declekind分割原理
确界限存在原理
单调有界原理
区间套定理
有限覆盖定理
聚点定理
有界数列必有收敛子列
Cauchy收敛准则

奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

函数重要极限

函数等价无穷小

基本导数表

奇奇怪怪的公式

二项式定理

绝对值不等式

伯努利不等式、均值不等式

Bernoulli 不等式

均值不等式（AGH不等式）

e的泰勒展开

奇奇怪怪的证明

极限除法

开方

#实数公理 -> #确界原理

#和差化积 + 极限

e γ

自然常数与欧拉常数

任何奇次多项式至少有一个实零点

奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

如何求解数列极限

简化证明

直接法

适当放大法

Cauchy定理

如何证明函数极限存在

如何求解函数极限

幂指函数

幂指函数极限

想不到的放缩与 #夹逼定理

奇奇怪怪

又神秘的东西

如何定义一个开集

什么是数域？

什么是拓扑空间？

势

连续统假设

区域不变性

数分观点下的不动点

一些常考 Theorem

$B e r n o u l l i$ 不等式

$e$ 的泰勒展开

$e$ $γ$