MA.Review.01

Question

极限

性质

唯一： #收敛数列唯一性 #极限唯一性
局部： 数列: 有限项不能改变数列的收敛性; 函数: $x_{0}$ 点处收敛性只需考察 $x_{0}$ 的邻域内
有界： 数列: #收敛数列有界性收敛必有界; 函数: #局部有界性 $x_{0}$ 点处收敛 ⇒ $x_{0}$ 点附近有界
保序：
- #收敛数列保序性 $lim x_{n} = a, lim y_{n} = b, a < b \Rightarrow x_{n} < y_{n}$ （ $n$ 充分大时）
- #极限局部保序性
- 加强：保号性
  - #收敛数列保号性
    - $b > 0 : y_{n} > k \cdot b > 0$ （ $n$ 充分大时）
    - $b < 0 : y_{n} < k \cdot b < 0$ （ $n$ 充分大时）
    - $\Rightarrow | y_{n} | > k \cdot | b | > 0$
    - 理解： $y_{n}$ 与 $0$ 的距离不能任意小
    - ==适用于：==倒数取范围
  - #极限局部保号性
保四则运算 除法运算中分母极限不为0

收敛/发散的证明

Recall

$数列 {a_{n}} 收敛于 a \Leftrightarrow$ $\forall ε > 0, \exists N \in N, 使 \forall n > N, 有$
$| a_{n} - a | < ε$
Tips: $ε 选定之后可以求得满足条件的 N, 即 N (ε)$

函数极限的 #epsilon-delta定义

$\forall ε > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < δ 时有$
$| f (x) - l | < ε$
$则记为$
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l 或 f (x) \to l (x \to x_{0})$

左右单侧极限同理可得

函数极限的 #epsilon-X定义

无穷大处的极限

$\forall ε > 0, \exists X = X (ε) > a, 当 | x | > X 时, 有$
$| f (x) - l | < ε$
$记为$
$lim_{x \to \infty} f (x) = l 或 f (x) \to l (x \to \infty)$
类比得到无穷大/无穷小

#基本列 / Cauchy列

$\begin{array}{r} 若对任意给定的正数 ε, 存在正整数 N = N (ε), 使得当 m, n > N 时, \end{array}$
$| a_{n} - a_{m} | < ε$
$则称该数列为基本列$

#单调有界定理

单调数列：有对应的界<=>收敛

Theorem #Cauchy判别准则

$lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在 \Leftrightarrow$
$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x^{'}, x^{″} \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) :$ $| f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ε$
其他五种极限不再赘述

#Cauchy收敛准则

$数列 {a_{n}} 收敛的充分必要条件是 {a_{n}} 是基本列$

发散<=>非基本列<=> $\exists ε > 0, \forall N \in N_{+}, \exists n > N, \exists p \in N_{+} \Rightarrow | a_{n + p} - a_{n} | \geq ε$

#Stolz定理

$\frac{\forall}{\infty} 形 S t o l z 定理$
$设 {a_{n}}, {b_{n}} 是两个数列, 且 {b_{n}} 严格递增趋于 + \infty . 如果$
$lim \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = A$
$则有$
$lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = A$
其中 $A$ 可以是实数(有界数) / $+ \infty$ / $- \infty$ 只能是定号无穷

#子数列归并性定理

数列/函数发散的证明方法

#epsilon-N定义 #epsilon-delta定义
无界
#Cauchy收敛准则 / #Cauchy判别准则
#子数列归并性定理

#BW定理

#BW定理列紧性定理致密性定理

有界数列必存在收敛子列
可以是多个极限不同的数列

函数极限与数列极限的关系—— #Cauchy判别准则 / #Heine归并定理

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l \Leftrightarrow \forall x_{n} \to x_{0} (x_{n} \neq x_{0}), lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = l .$

$l$ 可以是有限数，也可以是无穷

#Heine归并定理 $f (x) 已知极限 \Rightarrow f 采样有极限$
在求数列极限时，若表达式明确，则可对其连续化。

Theorem #Heine归并定理

$函数 f (x) 在 x \to x_{0} 时有极限的充要条件是$
$对于任意一个以 x_{0} 为极限的数列 {a_{n}} (a_{n} \neq x_{0}) 都有$ \lim\limits_{n\to x_{0}}f(a_{n})=l$

$自变量接近 \Rightarrow 函数值接近$

- #Cauchy收敛准则 -> #Cauchy判别准则

函数极限的相容性

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l, lim_{t \to t_{0}} g (t) \overset{g (t) \neq x_{0}, t \neq t_{0}}{\to} lim_{t \to} f (g (t)) = l$

概念区别

$发散 \supset 无界 \supset 无穷大$

连续

某点连续

#连续的epsilon-delta表述

性质

保邻近：（局部性质） $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$
换次序： #连续函数极限的穿越 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (lim_{x \to x_{0}} x)$
离散判别： $对 x_{n} \to x_{0} 且 x_{n} \neq x_{0}, 有 lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = f (x_{0})$
左右连续： $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$
保四则运算
保复合运算
极限与绝对值可交换： $lim_{x \to x_{0}} | f (x) | = | lim_{x \to x_{0}} f (x) |$ 逆命题不成立

第一类间断点

左右极限都存在

#可去间断点 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) \neq f (x_{0})$
#跳跃间断点 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) \neq lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$

第二类间断点

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) or lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ 至少一个不存在

连续函数存在反函数的充要条件：严格递增

闭区间上的连续函数

性质

#闭区间连续函数介值性
#闭区间连续函数有界性
#闭区间连续函数最值性：取到最大值、最小值；值域是闭区间
#闭区间连续函数零值性
#一致连续性

$f$ 在区间 $I$ 上一致连续

#一致连续性

$设 f 在区间 I 上有定义,$ $若 \forall ε > 0,$ $\exists δ > 0,$ $\forall x^{'}, x^{″} \in I,$ $且 | x^{'} - x^{″} | < δ, 有$
$| f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ε$
$则称 f 在 I 上一致连续, 记为 f \in U . C (I)$

非逐点定义：整体定义

注：给定 $ε > 0, 对不同的 x_{0}, δ (ε, x_{0}) 可能不同$

$对任意 ε > 0, 一致由公共 δ 体现 :$

一致连续: $公共 δ, 即 δ = δ (ε) .$
非一致连续: $非公共 δ, 即 δ = δ (ε, x_{0})$

等价命题

#一致连续性/Cauchy判别准则形式

$\forall ε > 0, \exists δ > 0, 对 \forall x_{1}, x_{2} \in I, 当 | x_{1} - x_{2} | < δ 时, 有 | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ε$

#一致连续性/极限表达形式

$lim_{δ \to 0^{+}} sup | f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 0 \dots (\forall x_{1}, x_{2} \in I, | x_{1} - x_{2} | < δ)$

连续与一致连续

一致连续：整体
连续：局部（逐点连续）

一致连续与连续的关系及几何意义

函数极限的 #epsilon-delta定义

$\forall ε > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < δ 时有$
$| f (x) - l | < ε$
$则记为$
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l 或 f (x) \to l (x \to x_{0})$

左右单侧极限同理可得

#一致连续性

非逐点定义：整体定义

一致连续是比连续更强的一种连续。强在何处呢？强在有一个共同的δ

几何意义

保证在整个区间内无陡峭处

保证平滑, 不出现强烈震荡及无穷

一致连续的判别

常用判别法： $若 f 在区间 I 上可导, 则 f^{'} 有界 \to_{Lipschitz}^{微分中值定理} f 在 I 上一致连续$
推广 1: $若 f 在 [a, + \infty] 上连续, 且对 \forall x_{0} > a, f^{'} 在 [x_{0}, + \infty] 上有界,$ $则 f 在 [a, + \infty] 上一致连续 . (如 f (x) = \sqrt{x} 在 [0, + \infty) 上一致连续)$
推广 2: $若 f 在 x_{0} 处连续,$ $且对 \forall a > 0,$ $f^{'} 在 R ∖ (x_{0} - a, x_{0} + a) 上有界, 则 f 在 R 上一致收敛 .$
命题 2: $f 在 [a, + \infty] 上连续且 lim_{x \to \infty} f (x) 存在 \Rightarrow f 在 [a, + \infty] 上一致连续 .$
命题 3: $f 在 (a, b], [b, c) 上一致连续 \Rightarrow f 在 (a, c) 上一致连续 .$
命题 4: $f, g 在 [a, + \infty) 上有界且一致连续 \Rightarrow f g 在 [a, + \infty) 上一致连续 .$
注意: 有界不能省略, 反例: $f (x) = g (x) = x, x \in R^{+}$ . 若把无穷区间换成有区间, 则有界可省略, 因为有穷区间的一致连续性包含有界.
命题 5: $f 在 R 上连续且 f 是周期函数 \Rightarrow f 在 R 上一致连续 .$

一元微分学

导数

可导

定义： $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} := f^{'} (x_{0}) 存在且有限$ ，局部概念（ $\frac{0}{0}$ 型极限）
等价定义： $f_{+}^{'} (x_{0}) := lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =$ $lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + Δ x)}{Δ x} := f_{-}^{'} (x_{0})$
- $f 在 x_{0} 处可导 \Rightarrow f 在 x_{0} 处连续$

自行回顾如下内容:

导数的四则运算
链式 (复合函数) 求导法则
反函数求导法则
所有初等函数的求导公式
用 Leibniz 法则计算高阶导数
幂指数型求导
隐函数求导 (微分)
参数方程表示函数的求导 (微分)

微分

可微

定义： $\exists λ \in R, 使得 f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = λ Δ x = f^{'} (x_{0}) Δ x$
- $λ = f^{'} (x_{0}) 唯一$
- $λ Δ x 称为 f 在 x_{0} 处的微分,$ $记为 d y := λ Δ x = f^{'} (x_{0}) Δ x$
- 导数=微商： $f^{'} (x) = \frac{d f (x)}{d x}$
  - 分子分母有独立意义
  - $d f$ 是 $d x$ 的线性函数
在一元微分学中，可导 $\Leftrightarrow$ 可微
#一阶微分形式不变性

#一阶微分形式不变性

$不论 u 是自变量,$ $还是中间变量,$ $函数 y = f (u) 的一阶微分形式一样 .$

微分中值定理

自行回顾如下内容 (后三个定理都是考试常考点):

Fermat 定理
Rolle 定理
Cauchy 定理
Lagrange 定理
Darboux 定理

极限

性质

收敛/发散的证明

数列/函数收敛的证明方法

数列/函数发散的证明方法

#BW定理

函数极限与数列极限的关系—— #Cauchy判别准则 / #Heine归并定理

函数极限的相容性

概念区别

连续

某点连续

性质

第一类间断点

第二类间断点

连续函数存在反函数的充要条件：严格递增

闭区间上的连续函数

性质

f在区间I上一致连续

对任意一致由公共体现对任意ε>0,一致由公共δ体现:

等价命题

连续与一致连续

一致连续的判别

一元微分学

导数

可导

微分

可微

微分中值定理

$f$ 在区间 $I$ 上一致连续

$对任意 ε > 0, 一致由公共 δ 体现 :$